CES效用函数：\(U(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta},\delta\le 1\)
当\(\delta=1\)时，得到完全替代效用函数：
\(U(x,y)=x+y\).
当\(\delta=0\)时，得到柯布道格拉斯效用函数：
单调变换得：\(U^*(x,y)=\frac{x^\delta-1}{\delta}+\frac{y^\delta-1}{\delta}=\frac{x^\delta+y^\delta-2}{\delta}\).
\(\frac{0}{0}\)型：\(\lim\limits_{\delta\to 0}U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to 0}\frac{x^\delta lnx+y^\delta lny}{1}=lnx+lny\).
当\(\delta=-\infty\)时，得到完全互补效用函数：(经单调变换，\(x>0,y>0\)可化为\(x>1,y>1\))
单调变换得：\(U^*(x,y)=\frac{ln(x^\delta+y^\delta)}{\delta}\).
\(\lim\limits_{\delta\to-\infty}U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{ln(x^\delta+y^\delta)}{\delta}\).
\(\frac{\infty}{\infty}\)型：\(\lim\limits_{\delta\to-\infty}U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{ln(x^\delta+y^\delta)}{\delta}=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{x^\delta lnx+y^\delta lny}{x^\delta+y^\delta}\).
当\(x>y\)时，\(U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{(x/y)^\delta lnx+lny}{(x/y)^\delta+1}=lny\).
当\(x< y\)时，\(U^*(x,y)=\lim\limits_{\delta\to-\infty}\frac{lnx+(y/x)^\delta}{1+(y/x)^\delta}=lnx\).
当\(x=y\)时，\(U^*(x,y)=lnx=lny\).
因此，\(U^*(x,y)=min\{lnx,lny\}=min\{x,y\}\).（单调变换）
